Mit Billard Pi bestimmen

Es gibt viele Möglichkeiten, Pi zu bestimmen. Die mit Abstand abgefahrenste Methode zählt die Aufpraller zweier Billardkugeln. Einfach nur zählen …

 

Am 14. März wird traditionell der Pi-Day gefeiert
(in amerik. Schreibweise 3-14), aber dieses Mal passt die Jahreszahl mit in die Reihe, sodass der Epic-Pi-Day vor der Tür steht! An dem Tag können wir folgende Konstellation finden:

3-14-15 9:26:53

Bis es soweit ist, möchte ich euch mit Videos, Bildern und Geschichten versorgen. Alle bisherigen Beiträge findet ihr hier.

 

Heute: Billard zur Pi-Bestimmung

Die Idee ist recht simpel, aber das Ergebnis dafür umso erstaunlicher. Holen wir etwas aus 🙂

Oben auf dem Foto seht ihr zwei Billardkugeln. Wird die rote Kugel angespielt (erste Kollision), rollt sie los. Sie trifft die Bande (zweite Kollision) und trifft, wenn man gut gezielt hat, wieder die weiße Kugel (dritte Kollision). Soweit so gut. Im nächsten Schritt wird es mathematischer:
Wir nehmen an, dass sich die Kugeln reibungsfrei bewegen und sämtliche Stöße elastisch sind. Wir spielen die Kugeln wieder mit der Bande an, aber dieses Mal ist die weiße Kugel ‚M‘ 100-mal schwerer als die rote Kugel ‚m‘. Oder um es in einer Formel zu schreiben:

M/m=100N  mit  N=1

GALPERIN2003 DOI: 10.1070/RD2003v008n04ABEH000252

Beim Aufprall der beiden Kugeln wird die leichte Kugel angestoßen, aber die schwere wird dabei kaum abgebremst. Die leichte Kugel ist schneller und prallt an der Bande ab, sie rollt auf die schwere Kugel zu und trifft diese. Die leichte Kugel prallt nun wieder von der schweren Kugel ab und rollt wieder auf die Bande zu. Die schwere Kugel wurde wieder etwas abgebremst, rollt aber weiter … und so weiter …
Irgendwann hat die leichte Kugel die schwere so oft getroffen, dass sie schließlich stehen bleibt und beim nächsten Stoß die Richtung wechseln wird. Die leichte Kugel die schwere bald nicht mehr erreichen und die Zählung für diese Runde ist komplett.
Die folgende Animation verdeutlicht die Bewegung und zählt die Kollisionen.


Bei gleichschweren Kugeln (N=0 ergibt M = m) gab es 3 Kollisionen und nun bei N=1 (M = 100m) sind es 31. Was passiert wohl bei N=2 (M = 10.000m)?
Ja, in dem Fall gibt es tatsächlich 314 Kollisionen. Der Mathematiker Gregory Galperin hat das weiter gerechnet und kommt auf ein erstaunliches Ergebnis:

N=0 -> 3
N=1 -> 31
N=2 -> 314
N=3 -> 3141
N=4 -> 31415

Die eingesetzte Potenz beim Massenverhältnis berechnet eine Anzahl von Kollisionen, die, wenn man nach der Drei ein Komma setzt, Pi bis auf die n-te Stelle exakt bestimmt.
Und es gilt für jede Potenz mit N < 1.000.000

Diese irrwitzig großen Massenverhältnisse sind natürlich nur noch Zahlenspiele, aber es ist doch erstaunlich, wie so ein simpel beginnendes Experiment Pi auf so viele Stellen exakt beschreibt. Das Paper ist hier frei einsehbar. Es werden einfache mechanische Formeln verwendet und keine sonstigen Annahmen vorausgesetzt (bis auf die Reibungsfreiheit und die elastischen Stöße). Falls jemand einen Fehler finden sollte, bitte melden 🙂

Ich habe auch geguckt, ob es noch ein Video zu dem Thema gibt, und bin mal wieder bei Numberphile fündig geworden.
Viel Spaß beim Gucken!

 

Das ist die abgedrehteste Methode Pi zu berechnen, die ich bislang gefunden habe.
Oder kennt ihr noch weitere?

Quelle:

– Bilder von: Playing Pool with Pi, G. Galperin 2003, DOI: 10.1070/RD2003v008n04ABEH000252
– Animation von: The Pi Machine, The New York Times, 10.03.2014
– Video von:  Numberphile

11 Kommentare

  1. Eine ziehmlich coole Idee. Ich fände es nur allgemein viel eleganter, wenn man statt pi tau, also 2pi, verwenden würde. Die Idee dahinter sieht man dann viel besser, weil die Winkel intuitiver sind…

  2. Ich habe beim Lesen der Überschrift gedacht, dass ich das sehr gerne mal ausprobieren würde.
    Dann habe ich mich gefragt ob mein Stammbillardlokal (kann man das so sagen?) reibungsfreie Billardtische hat…

    Nunja, eine sehr interessante Entdeckung, es faszininiert mich immer wieder auf welche Art in unserer Welt Zusammenhänge existieren. 🙂

  3. Ich kann mich leider nicht mehr an den mathematischen Unterbau erinnern, aber in der Schule haben wir Pi mal bestimmt, indem wir Nadeln vom Weihnachtsbaum fallen liesen.

    Drunter war ein Blatt Papier mit Linien und wir zählten, wann die Nadeln die Linie trafen und wann nicht.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Treffers war dann eine kreisförmige Funktion und über die ermittelten Treffer konnte man Pi bestimmen. Bei 25 Schülern waren wir nach einer Schulstunde bis auf 3 Nachkommastellen genau.

    Fand ich damals ziemlich cool

1 Trackback / Pingback

  1. Tau kritisiert: Pi ist Hochstapler, Kreiszahl immer noch falsch. Eigener Feiertag im Juni 2031 angekündigt. – Chevoja

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